答：应该履行下列职责：
1、清理遗产并制作遗产清单；
2、向继承人报告遗产情况；
3、采取必要措施防止遗产毁损、灭失；
4、处理被继承人的债权债务；
5、按照遗嘱或者依照法律规定分割遗产；
6、实施与管理遗产有关的其他必要行为。
法律依据：《民法典》第一千一百四十七条“遗产管理人应当履行下列职责：
（一）清理遗产并制作遗产清单；
（二）向继承人报告遗产情况；
（三）采取必要措施防止遗产毁损、灭失；
（四）处理被继承人的债权债务；
（五）按照遗嘱或者依照法律规定分割遗产；
（六）实施与管理遗产有关的其他必要行为。”
